成电讲堂

　　8月30日，国际著名数学家、香港中文大学数学科学研究所执行所长、蒙民伟数学讲座教授辛周平应邀做客“学者论坛”，作了题为 “On the Prandtl's Boundary Layer Theory for Steady Sink-Type Flows” 的学术讲座。本次学者论坛由教师发展中心主办、数学科学学院和物理学院联合承办，数学科学学院张健教授与向昭银教授主持。 

　　在本次报告中，辛周平教授重点探讨了二维无限长收敛喷嘴型区域内给定质量通量的稳态不可压缩流体的稳定性。辛教授首先介绍了平面圆锥形区域中不可压缩Navier-Stokes方程在大雷诺数极限下解的稳定性。他指出，在这类特殊区域中，Euler方程存在具体的特解，Landau-Lifshitz和Schlichting-Gersten等构造了Navier-Stokes方程的特解并分析了其在无穷远处和原点处的奇异性。原点处的收敛性表明Prandtl边界层理论适用于平面圆锥形区域，从而证明了朗道解在粘性扰动下具有结构稳定性。

　　辛周平教授进一步介绍了他与合作者在将相关理论推广到一般收敛喷嘴型区域的研究中所面临的挑战：奇异极限问题通常伴随着传统的难题，尤其是涡量的产生导致物理边界附近的梯度发生急剧变化，而当前的物理区域是一个带有顶点的无限长收敛喷嘴型区域且给定的质量通量条件具有非局部性，所以在Prandtl近似的形式构造与严格稳定性分析中至少存在两个新的困难：第一个来自于顶点处的奇性，这主要是由于无滑移边界条件下Navier-Stokes方程的解在顶点处可能产生奇性，在无穷远处趋于零，需要构造具有合适渐近行为的近似解，并在特定空间中估计余项；第二个困难是由于区域的一般性使得不可压缩的Euler流是非剪切流且在顶点处具有奇异性，使得线性化Navier-Stokes方程的稳定性分析更加困难。为了克服这些困难，辛周平教授和合作者通过系列的新观察找到了关键的突破点：一是对于固定的小粘性系数，Navier-Stokes方程的解在顶点和无穷远处的渐近行为完全由给定的质量通量条件决定；二是只需假设曲率随弧长增加而单调递减即可使得对应的Euler流有利于压力，这对非线性Prandtl边界层问题的适定性及线性化Navier-Stokes方程Prandtl逼近解的稳定性分析都至关重要；三是发现了新的流函数和新的坐标系。基于这些突破，辛周平教授和合作者证明了喷嘴型区域顶点处的无粘汇流型流动与Prandtl边界层流动叠加的全局结构稳定性。这些结果是除Landau-Lifshitz和Schlichting-Gersten结果之外，对与汇流型无粘流动相关的粘性边界层理论的首次严格论证。最后，辛周平教授还与大家分享了Prandtl边界层理论中一些亟待解决的公开问题。 

　　讲座结束后，辛周平教授与在场的师生进行了深入的交流和讨论，现场学术氛围浓厚。此次讲座不仅为我校师生带来了前沿的学术成果，也让我校师生在学术交流中拓宽了学术视野、提高了创新思维。